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| ラプラスの式 |
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| 鉛直線偏差が位置誤差（⊿α）をつくりだすのは，その大きさと高度角（V）です。その関係は，下に示す「ラプラスの式」であらわされています。 |
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| ⊿α＝ηtanφ＋（ξsinα－ηcosα）tanＶ |
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| ただし，ξ:南北成分，η:東西成分，V:高度角，α:方位角 |
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| ラプラスは約200年前の学者です。我が国でも戦前の教科書には載っていた式ですが，最近の測量教育ではすっかり無視されているのが現状です。 |
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| 地球楕円体 |
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| 回転楕円体は、具体的な大きさである半径ａおよびｂが定められていません。具体的に長半径ａおよび短半径ｂ（または扁平率ｆ）が定められた楕円体が、「地球楕円体」と呼ばれています（日本測地学会、現代測地学、1994.8.70頁）。日本測地系で使われた地球楕円体は、1841年にベッセルによって定められた幾何定数を採用しています。 |
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| 鉛直線偏差の計算 |
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| ジオイド高Ｎを次式のように２次曲面で近似します。ここに，ｘ,ｙは公共座標、未知数はｕ１２．６の６個です。６箇所以上の座標既知点においてジオイド高を与え未知数ｕを決めます。 |
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| Ｎ＝u1＋x・u2 ＋ｙ・u3 + xy・u4 + x2・u5 + y2・u6 |
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| ジオイド高Ｎをｘ,ｙでそれぞれ微分し，鉛直線偏差の南北及び東西方向の成分(ξ,η)を次のように得ます。 |
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| ξ=∂N/∂x = u2 + y・u4 + 2x・u5 |
| η=∂N/∂y = u3 + x・u4 + 2y・u6 |
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| 都市部ではビルの屋上でGPS観測が行われることが多く，その点の座標は地上点に取り付けられます。このような取り付け観測では，高度角が大きいので鉛直線偏差の影響をまともに受けます。次の表は，川崎市における公共基準点の地上点への取り付け観測データから位置誤差を見積ったものです。前述の式により計算した鉛直線偏差は，ξ＝－8″,η＝16″です。ちなみに，天文鉛直線偏差は，それぞれ，ξ＝－9″とη＝18″になります。 |
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| 表＝屋上点から地上点への取り付け観測結果 |
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高度角 |
距離 |
方位角 |
座標誤差 |
| 点番号 |
° ′ ″ |
ｍ |
° |
ｍｍ |
| 2031 |
29 24 33 |
204.0 |
330 |
11.2 |
| 2030 |
17 7 7 |
294.4 |
155 |
8.8 |
| 2039 |
23 25 50 |
217.5 |
290 |
6.7 |
| 2039 |
9 10 32 |
507.9 |
110 |
5.8 |
| 127 |
32 18 16 |
106.8 |
10 |
5.3 |
| 2029 |
19 22 17 |
114.3 |
140 |
3.8 |
| 2036 |
13 45 50 |
132.3 |
206 |
1.9 |
| 2040 |
12 6 42 |
155.7 |
30 |
1.7 |
| 2039 |
5 24 36 |
665.0 |
70 |
0.7 |
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| 表によれば，１ｃｍを超える位置誤差を生じます。私の開発した３次元網平均計算プログラムには，サブルーチンとして鉛直線偏差の計算を組み込んであります。 |
