| Ｑ．Ｔｒａｎｓ／ＬＳＣとアフィン変換の違いは？ |
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| Ｔｒａｎｓ／ＬＳＣの仕組みから説明しましょう。 |
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| 平行移動による新旧測量網の関係 |
| 下の図の赤長方形が旧測量網です。青色の正方形が新測量網です。旧測量網を新測量網に合わせるため平行移動を行いました。平行移動量はｘ０，ｙ０です。旧測量網はθだけ回転していますが、この時点では回転量は修正しません。変換パラメータはｘ０，ｙ０の二つです。新旧座標の関係は次式となります。ただし、(ｘ'，ｙ')は旧座標(ｘ，ｙ)は新座標。 |
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| ｘ＝ｘ０＋ｘ'， ｙ＝ｙ０＋ｙ' |
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| 平行移動によって新旧測量網を合致させたわけですが、 |
| 具体的には平行移動による「中心の１点固定」を行ったことになります。新旧の座標差を黒のベクトルであらわしてありますが、左回転がみられます。 |
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| 平行移動と回転による新旧測量網の関係 |
| 次に平行移動ｘ０，ｙ０と回転θの三つを変換パラメータとして新旧測量網を合わせます。この場合は「中心の１点固定」および回転の修正で「１方向固定」といえます。新旧座標の関係は次式となります。θが小さいので、cosθ＝１、sinθ＝θとしてあります。 |
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| ｘ＝ｘ０＋ｘ'－θｙ'， ｙ＝ｙ０＋ｙ'＋θｘ' |
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| 新旧差である黒いベクトルの回転はなくなりましたが、スケールの差による内向きのベクトルになります。 |
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| 平行移動・回転・伸縮による新旧測量網の関係（ヘルマート変換） |
| スケールを伸縮させ新旧測量網の面積が等しくなるようにします。新旧座標の関係は次式となります。ただし、スケールｋは１に近いのでｋθ＝θ、ｋｘ０＝ｘ０としてあります。 |
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| ｘ＝ｘ０＋ｋｘ'－θｙ'， ｙ＝ｙ０＋ｋｙ'＋θｘ' |
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| 変換パラメータは、ｘ０，ｙ０，θ，ｋの四つで、「ヘルマート変換」と呼ばれているものです。 |
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| 平行移動の計算例 |
| 上図は横浜市における公共測量とＧＰＳ測量結果から「地域毎に適合した変換パラメータ」を求めたときのものです。変換方法は「平行移動」です。矢印は各公共基準点の誤差に相当する残差です。残差ベクトルの左回転がみられます。下図は「平行移動・回転」が変換パラメータになっていますので残差の回転ベクトルは消えています。標準偏差は０．２２６ｍから０．１３８ｍに改善されています。 |
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| アフィン変換 |
| ヘルマート変換の場合は回転および伸縮がｘｙ方向とも同じものを扱っていましたが、アフィン変換においてはそれぞれｘとｙ方向に異なったθｘ，θｙおよびｋｘ，ｋｙを変換パラメータとして扱います。したがいまして、新旧座標の関係は次式の６パラメータとなります。 |
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| ｘ＝ｘ０＋ｋｘｘ'－θｙｙ'，ｙ＝ｙ０＋ｋｙｙ'＋θｙｘ' |
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| 新旧測量網の結合状態が最もよくなり、新旧座標差は最も小さくなります。なお、アフィン変換によれば、旧座標系の直交性を前提にしていないことから、この変換方法は理論的に誤りである、との意見を耳にしたことがあります。すでにご案内のように、旧座標の持つ誤差は直交性を保存した新座標へ変換するのですから問題ありません。 |
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| Ｔｒａｎｓ／ＬＳＣにおける座標変換方法の選択 |
| Ｔｒａｎｓ／ＬＳＣでは「座標変換」を選択すると「地域毎に適合した変換パラメータ」に対応する「ローカル変換」と「ＴＫＹ２ＪＧＤ変換」の選択場面がでます。 |
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| そこで「ローカル変換（ＬＳＣ）の実行」を選択すると「平行移動」などの座標変換方法を選択できるようになっています。 |
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| 信号（残差）の処理 |
| 平行移動またはアフィン変換などを行い、新旧測量網の合致を行います。この場合、変換のための基準点においては残差が生じます。つまり新旧の座標差で、前述の図では黒矢印で示しました。ＬＳＣではこの黒矢印であらわされている残差を「誤差」のように扱うのでなく、「信号(Ｓｉｇｎａｌ)」として扱い、周囲に配布します。 |
| 簡単な例で示しますと、下の図は「距離の逆数」および「距離の平方の逆数」を重みとして信号を配布したものです。ＬＳＣにおける重要な問題は「重み付け」にあり、通常は「共分散関数」を使います。前に示した画面は「平行移動をトレンド」として「信号」を配布する「最小２乗内挿」として設定してあります。 |
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| マニュアル第３７条運用基準では残差が１０ｃｍ以内のものを採用するよう定められています。ここでいう残差が本当に信号として扱ってよいかどうかは「測量士」の判断になります。重要な判断です。 |
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| もう少し考察してみましょう。 |
| 下の図は回帰直線Ｔ＝ａ＋ｂＤを最小２乗法できめたものです。変換パラメータはａとｂになります。それでＰ点の内挿は次になります。 |
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| Ｔ０＝ａ＋ｂＤ０ |
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| ところがＰ点近くのＴ４の残差ｖ４は大きく内挿結果であるＴ０の値は問題がありそうです。ＬＳＣでは残差ｖを誤差扱いするのでなく、信号ｓとするのです。図の赤曲線がＴの分布として扱われます。Ｐ点ではＴ０にｓ０を加えた値が、ＬＳＣで扱うＰ点における内挿値となります。信号ｓはｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５からのＤにより重み付けを行い平均した値になります。「マニュアル」第３７条に定められた「重み付補間」による方法に似ています。ＬＳＣにおいてＤの重み付けが重要な役割を果たします。ＬＳＣによる内挿結果は単なるアフィン変換の場合より正確です。実際のデータでも証明されています。 |
